Les probabilités sont une branche des mathématiques qui étudie les phénomènes aléatoires, c'est-à-dire les situations dont le résultat n'est pas connu avec certitude à l'avance. Elles permettent de mesurer le degré de chance ou de risque associé à un événement. Les calculs de probabilités sont aujourd'hui indispensables dans de nombreux domaines tels que les statistiques, l'économie, l'assurance, la médecine, l'informatique, les jeux de hasard et les sciences de l'ingénieur.
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude avant sa réalisation, même si elle est effectuée dans les mêmes conditions.
Lors du lancer d'un dé :
L'ensemble Ω\OmegaΩ est appelé univers possibles.
L'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
Pour un lancer de pièce :
Un événement est un ensemble de résultats appartenant à l'univers.
Lors d'un lancer de dé :
Il contient un seul résultat possible.
Obtenir exactement 5 lors d'un lancer de dé.
C'est un événement qui se réalise toujours.
Obtenir un nombre inférieur à 7 avec un dé.
C'est un événement qui ne peut jamais se produire.
Obtenir 8 avec un dé à six faces.
Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire simultanément.
Lors d'un lancer de dé :
Les deux événements ne peuvent pas se réaliser en même temps.
La probabilité mesure la chance qu'un événement se réalise. Sa valeur est comprise entre 0 et 1.
P(A)=Nombre de cas possibles/Nombre de cas favorables
Probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé :
Cas favorables :
Nombre de cas favorables = 3
Nombre total de cas possibles = 6
Le complémentaire d'un événement AAA représente l'événement contraire, c'est-à-dire que AAA ne se réalise pas.
L'union de deux événements correspond à la réalisation de l'un ou de l'autre, ou des deux simultanément.
A∪B
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Tirer une carte qui est soit un roi, soit une carte rouge.
L'intersection représente la réalisation simultanée de deux événements.
Avec un dé :
Alors :
La probabilité conditionnelle mesure la probabilité qu'un événement se réalise sachant qu'un autre événement est déjà réalisé.
Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.
Le théorème de Bayes permet de calculer une probabilité en tenant compte d'informations nouvelles obtenues après une première observation.
Une variable aléatoire associe une valeur numérique à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire.
On lance deux pièces.
Soit X le nombre de faces obtenues.
Les valeurs possibles sont :
L'espérance représente la valeur moyenne attendue lorsqu'une expérience est répétée un très grand nombre de fois.
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance.
L'écart-type est la racine carrée de la variance. Il indique à quel point les valeurs s'écartent de la moyenne.
Elle modélise une expérience répétée plusieurs fois avec seulement deux résultats possibles : succès ou échec.
Lancer une pièce 10 fois et compter le nombre de piles.
La loi normale est une loi continue très utilisée en statistique. Elle est représentée par une courbe en forme de cloche.
Les calculs de probabilités constituent un outil fondamental pour l'étude des phénomènes aléatoires. Ils permettent de mesurer l'incertitude, d'analyser les risques et de prendre des décisions éclairées.
